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\title{《金融数学》章节内容}
\author{LQW}
\date{2025年秋季}

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\begin{document}

\maketitle

\setcounter{tocdepth}{2}
\renewcommand\contentsname{目录}
\tableofcontents
\thispagestyle{empty}

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\setcounter{page}{1}
\section{金融产品介绍}%第1章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  理解标的资产和衍生产品的概念，理解各类期权的含义，理解期权的价格和利润的概念。
\item  理解自融资投资策略和无套利原理。
\item  了解衍生产品的一些基本性质，理解欧式期权的平价公式。
\item  了解一些常见的期权交易策略。能够画出资产与期权组合、期权组合的内在价值线和利润线。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
\item  例子1.5. 设投资者预期股票价格在未来12个月内将发生剧烈波动。该股票的现价为100美元，那么投资者可以通过同时购买一个12个月的到期敲定价格都为100 美元的看涨和看跌期权，构成一个多头跨式期权组合。
画出内在价值线和利润线。

\item  例子1.6. 某投资者以5美元的价格购买一个敲定价格为60美元的看涨期权，同时以3美元的价格售出一个敲定价格为70美元的看涨期权。分析该投资组合的利润。

\item  例子1.7. 假定某一股票的现价为65美元，六个月期看涨期权的敲定价格分别为60，65和70美元，对应的期权价格分别为10，7和5美元。如果某个投资者认为在以后的六个月中，股票价格不太可能发生重大变化，他可以采用什么样的蝶式差价期权策略？


\end{enumerate}

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\section{期权定价的离散模型}%第2章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  使用单期二叉树模型计算期权定价，理解风险中性概率的概念。
\item  理解离散时间鞅的概念，理解风险资产价格基本定理。
\item  使用多期二叉树模型计算欧式期权、美式期权、障碍期权、回望期权和亚式期权的定价。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
\item  例子2.1. 假设一单位的股票现价为 40 美元，一年以后股票价格可能为 45 美元或者 35 美元。如果一年后相应的期权的价格为 $V_1^u=5$ 美元和 $V_1^d=0$ 美元，即期一年期无风险利率为 5\%. 求 $t=0$ 时该期权的价格。

\item  例子2.2. 假设某个股票的当前价格是60美元，到期时间为9个月，股票价格每3个月上升或下降的幅度为 10\%, 无风险利率为 5\%. 求一个敲定价格为58美元的欧式看涨期权的价格。

\item  例子2.3. 假设某个股票的当前价格是50美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降的幅度为 10\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个敲定价格为48美元的美式看跌期权的价格。

%\item  例2.4. 假设某个股票的当前价格是50美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降的幅度为 10\%, 单期无风险利率为 5\%. 设置向下敲出的障碍水平为跌破48美元。求一个敲定价格为52美元时的欧式看涨期权的价格。
%
%\item  例2.5. 假设某个股票的当前价格是25美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降的幅度为 15\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个具有浮动敲定价格的欧式回望看涨期权的价格。
%
%\item  例2.6. 假设某个股票的当前价格是25美元，到期时间为 $T=3$, 股票价格每期上升或下降幅度为 15\%, 单期无风险利率为 5\%. 求一个具有固定敲定价格 $X=25$ 美元的美式算术平均亚式看跌期权的价格。 

\end{enumerate}

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\section{随机积分与布朗运动}%第3章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  计算一维随机游动模型的期望和方差。
\item  理解条件期望的概念，会做简单的计算。理解连续时间鞅的概念。
\item  理解布朗运动和几何布朗运动的概念，会做一些计算。
\item  理解随机变量序列的均方极限和随机积分的概念。理解Ito积分的概念和基本性质。
\item  了解布朗运动的Ito公式，了解Ito过程的Ito公式。
\item  了解风险的市场价格的含义。了解Gisanov定理。了解等价鞅测度的含义。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
%\item  解释布朗运动是随机游动的某种极限。

\item  例子3.1. 设 $f(t)=W(t)$, 验证如下 Ito 积分的计算，并用数值模拟验证， 
\[\int_0^T W(t)dW(t) = \frac{1}{2} W(T)^2 - \frac{T}{2}. \] 

\item  例子3.2. 求解如下几何布朗运动模型，并模拟一些样本路径，
\[ dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t). \]

\item  例子3.3. 求解如下 Vasicek 随机利率模型，并模拟一些样本路径，
\[ dr(t) = (\alpha-\beta r(t))dt + \sigma dW(t). \] 

\end{enumerate}

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\section{期权定价的连续模型}%第4章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  理解Black-Scholes期权定价模型的基本假设，导出BS方程。
\item  使用偏微分方程方法导出BS公式。使用概率论方法导出BS公式。
\item  了解有红利的和有交易成本的欧式期权的BS方程和定价公式。
\item  了解美式期权和障碍期权的定价模型。
\item  了解一些希腊字母参数和风险管理的含义。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
\item 例子4.1. 设某股票的当前价格为 4.6 元，其欧式看涨期权的敲定价格为 4.5 元，现在距到期时间为一年，股价的年波动率为 0.30，无风险利率为 6\%, 计算该欧式看涨期权的价格。

\item 例子4.2. 设某股票的当前价格为 4.3 元，其欧式看跌期权的敲定价格为 3.73元，现在距离到期时间为 0.75 年，股价年波动率为 0.25, 无风险利率为 5\%, 计算该欧式期权的价格。


\end{enumerate}

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\section{数值计算与模拟}%第5章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  理解蒙特卡洛方法的基本原理，使用蒙特卡洛方法计算多重积分，计算欧式期权定价的数值解。
\item  使用三种方差减小技术计算欧式期权的定价：控制变量方法、对偶变量方法、重要抽样方法。
\item  使用最小二乘蒙特卡洛方法计算美式期权定价。
\item  使用有限差分方法计算欧式期权的定价：显式、隐式、Crank-Nicolson差分格式。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
\item  例子5.1. 使用蒙特卡洛方法计算二重积分 $$\int_0^1\int_0^{\sqrt{1-y^2}}(x^2+y^2)dxdy.$$

\item  例子5.2. 设股票价格服从下述几何布朗运动，
\[ dS(t)=rS(t)dt+\sigma S(t)dW(t).\] 
设 $T=1$, $r=0.04$, $\sigma=0.3$. 设敲定价格 $X=5$, 当前股价 $S_0=6$. 使用蒙特卡洛方法计算欧式看涨期权的数值解。

\item  例子5.3. 假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动 $$dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t), \,\, 0\le t\le T, $$
如果到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.04$, 波动率 $\sigma=0.3$, 敲定价格 $X=5$, 当前股价 $S_0=8$, 使用控制变量方法计算欧式看涨期权的价格。

\item  例子5.4：假设股票价格 $S(t)$ 服从几何布朗运动，设到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.06$, 波动率 $\sigma=0.4$, 当前股价 $S_0=10$, 分别使用 LSM方法和CV-LSM方法计算美式看跌期权的价格。

\item  例子5.5：设到期日 $T=1$, 无风险利率 $r=0.3$, 波动率 $\sigma=0.4$, 敲定价格 $X=8$, 股价最高 $S_max=10$, 使用有限差分隐式格式方法计算欧式看涨和看跌期权的价格。

\end{enumerate}

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\section{奇异期权}%第6章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  理解障碍期权、重置期权、亚式期权和天气期权的概念。
\item  使用蒙特卡洛方法计算障碍期权、重置期权、亚式期权和天气的定价。
\item  了解经理人股票期权和护照期权的概念。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
\item  例子6.1. 设股票价格服从几何布朗运动 $dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$, $0\le t\le T$, 
设无风险利率 $r=0.1$, 波动率 $\sigma=0.4$, 到期日 $T=5/12$, 敲定价格 $X=50$, 当前股价 $S_0=49$, 障碍值 $B=30$. 
使用蒙特卡洛方法求向下敲出欧式看跌障碍期权的价格。

\item  例子6.2. 设股票价格服从几何布朗运动 $dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$, $0\le t\le T$, 
设无风险利率 $r=0.1$, 波动率 $\sigma=0.4$, 到期日 $T=1$, 敲定价格 $X=50$, 当前股价 $S_0=50$, 重置时间水平为 $\tau=0.5$. 使用蒙特卡洛方法求在 $t=0$ 时刻单点时间重置欧式看涨期权的价格。

\item  例子6.3. 设股票价格服从几何布朗运动 $dS(t) = rS(t)dt + \sigma S(t)dW(t)$, $0\le t\le T$, 
设无风险利率 $r=0.1$, 波动率 $\sigma=0.4$, 到期日 $T=1$, 敲定价格 $X=50$, 当前股价 $S_0=60$, 
使用蒙特卡洛方法，以几何平均亚式期权的封闭解作为控制变量，求在 $t=0$ 时刻算术平均亚式期权的价格。

\end{enumerate}

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\section{利率与债券}%第7章

\subsection{学习目标}
\begin{enumerate}
\item  理解利率模型的两种思路：均衡模型和无套利模型。
\item  理解利率的Vasicek模型和CIR模型，使用实际数据进行计算。
\item  理解利率的Ho-Lee模型和Hull-White模型，使用实际数据进行计算。
\item  理解债券、零息票债券和远期利率的概念，理解债券价格的一般模型，理解收益率曲线的含义。
\item  在利率采用Merton模型时，理解对应的零息票债券的定价模型，使用实际数据进行计算。
\item  在利率采用Vasicek模型和CIR模型时，使用实际数据进行计算零息票债券的定价模型。
\item  了解HJM模型。
\end{enumerate}

\subsection{本章案例}
\begin{enumerate}
\item  例子7.0. 使用 SHIBOR的历史数据，估计 Vasicek 模型的参数。
\item  例子7.1. 设短期利率满足 Merton 模型 $dr(t) = \mu dt + \sigma dW(t)$, 其中 $\mu,\sigma$ 都是常数。设 $\lambda$ 也是常数，求解债券价格定解问题
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial P}{\partial t} + (\mu-\lambda\sigma)\frac{\partial P}{\partial r} + \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 P}{\partial r^2} -rP =0, \,\,\,\,\, P(T,T)=1.
\end{eqnarray*}

\item  例子7.2. 设谋银行发行的债券期限分别为1年、2年、3年、5年、7年、10年和14年，设对应的收益率分别为 
3.51, 4.54, 5.21, 6.46, 7.26, 7.99 和 8.30. 求五年期零息票的当前价格。

\end{enumerate}

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\end{document}
